9. Найдите значение выражения √48 - √192 cos 2 5π 12.

Для решения данного выражения необходимо упростить выражение с косинусом и корень.

$$ \sqrt{48} - \sqrt{192} \cos^2{\frac{5\pi}{12}}$$

Преобразуем корень:

$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

$$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$$

$$4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} \cos^2{\frac{5\pi}{12}}$$

Преобразуем $$\frac{5\pi}{12} = \frac{(2+3)\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = 30° + 45° = 75°$$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $$\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}$$

$$\cos^2{\frac{5\pi}{12}} = \frac{1 + \cos{\frac{5\pi}{6}}}{2} = \frac{1 + \cos{150°}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$$4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} (2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 6$$

Ответ: 6