9. Найдите больший угол равнобедренной трапеции \(ABCD\), если диагональ \(AC\) образует с основанием \(AD\) и боковой стороной \(AB\) углы, равные 30° и 45° соответственно.

Ответ: 105°

1. В трапеции углы при большем основании равны, как и углы при меньшем основании. Так как трапеция равнобедренная, то углы \(\angle BAD = \angle CDA\) и \(\angle ABC = \angle BCD\).
2. Рассмотрим треугольник \(ACD\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle CAD = 180° - \angle ACD - \angle ADC = 180° - 30° - \angle ADC\).
3. В трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180°, поэтому \(\angle BAD + \angle ABC = 180°\) или \(\angle CDA + \angle BCD = 180°\).
4. Угол \(\angle BAC = 45°\) по условию, тогда \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45° + \angle CAD\).
5. Следовательно, \(\angle ADC = \angle BAD = 45° + \angle CAD = 45° + 180° - 30° - \angle ADC\).
6. Решим уравнение: \(2 \cdot \angle ADC = 45° + 180° - 30°\), \(2 \cdot \angle ADC = 195°\), \(\angle ADC = 97.5°\).
7. Найдем \(\angle CAD = 180° - 30° - 97.5° = 52.5°\).
8. Тогда \(\angle BAD = 45° + 52.5° = 97.5°\) - это угол при большем основании.
9. Найдем угол при меньшем основании: \(\angle ABC = 180° - \angle BAD = 180° - 97.5° = 82.5°\). Противоречие.
10. По условию, \(\angle BAC = 45°\) и \(\angle CAD = 30°\), следовательно, \(\angle BAD = 45° + 30° = 75°\). Значит, \(\angle ADC = 75°\) тоже.
11. Тогда \(\angle BCD = 180° - 75° = 105°\) и \(\angle ABC = 105°\).

Ответ: 105°