7. Найдите для функции у = x² + 4x + 3: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Ответ: смотри решение

Разбираемся:

1. Дана функция y = x² + 4x + 3
2. a) Область определения:

• Квадратичная функция определена для всех действительных чисел.
• Ответ: (-∞; +∞)

2. б) Множество значений:

• Так как a = 1 > 0, парабола направлена вверх.
• Найдем вершину параболы: x₀ = -b / 2a = -4 / 2 = -2
• y₀ = (-2)² + 4 * (-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
• Множество значений: [-1; +∞)

3. в) Наименьшее (наибольшее) значение:

• Наименьшее значение: -1 (вершина параболы)
• Наибольшего значения нет.

4. г) Уравнение оси симметрии параболы:

• Ось симметрии проходит через вершину параболы.
• Уравнение оси симметрии: x = -2

5. д) Нули:

• Решаем уравнение x² + 4x + 3 = 0
• По теореме Виета: x₁ + x₂ = -4, x₁ * x₂ = 3
• x₁ = -1, x₂ = -3
• Нули функции: x = -1, x = -3

6. е) Промежутки знакопостоянства:

• y > 0 при x ∈ (-∞; -3) ∪ (-1; +∞)
• y < 0 при x ∈ (-3; -1)

7. ж) Промежутки монотонности:

• Функция убывает при x ∈ (-∞; -2)
• Функция возрастает при x ∈ (-2; +∞)

Ответ: смотри решение