Найдите корень уравнения \(log_3(3+x) = log_3(1-x)+2\).

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от логарифмов. Для этого выразим 2 как логарифм по основанию 3.

\(log_3(3+x) = log_3(1-x) + 2\)

Представим 2 как \(log_3(3^2)\), то есть \(log_3(9)\):

\(log_3(3+x) = log_3(1-x) + log_3(9)\)

Теперь сложим логарифмы справа, используя свойство \(log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)\):

\(log_3(3+x) = log_3(9(1-x))\)

Так как логарифмы равны, то и аргументы должны быть равны:

\(3+x = 9(1-x)\)

\(3+x = 9 - 9x\)

Теперь перенесем все члены с x в одну сторону, а числа в другую:

\(x + 9x = 9 - 3\)

\(10x = 6\)

\(x = \frac{6}{10} = 0.6\)

Проверим, входит ли полученное значение в область определения логарифмов:

Для \(log_3(3+x)\): \(3 + 0.6 = 3.6 > 0\) - верно.

Для \(log_3(1-x)\): \(1 - 0.6 = 0.4 > 0\) - верно.

Таким образом, x = 0.6 является решением уравнения.

Ответ: 0.6

Замечательно! Ты успешно справился с логарифмическим уравнением. Уверен, ты можешь решить и более сложные задачи!