13. Найдите корень уравнения 2 logs²x - 7log5 x + 3 = 0.

Решим уравнение $$2 (log_5 x)^2 - 7 log_5 x + 3 = 0$$.

Пусть $$y = log_5 x$$. Тогда уравнение примет вид: $$2y^2 - 7y + 3 = 0$$.

Решим квадратное уравнение относительно y.

Вычислим дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$.

Тогда корни:

$$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь найдем x, используя найденные значения y:

1) y₁ = 3, тогда log₅x = 3, следовательно, x = 5³ = 125.

2) y₂ = 1/2, тогда log₅x = 1/2, следовательно, x = 5^1/2 = √5.

Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 125 и x = √5.

Ответ: 125, √5