6. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами: A{1;2}, B{-3;4}, C{5;-2}

Найдем векторы, образующие треугольник:

$$\overline{AB} = \{-3-1;4-2\} = \{-4;2\}$$

$$\overline{BC} = \{5-(-3);-2-4\} = \{8;-6\}$$

$$\overline{CA} = \{1-5;2-(-2)\} = \{-4;4\}$$

Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин.

Косинус угла A

$$\overline{AB} = \{-4;2\}$$

$$\overline{AC} = \{4;-4\}$$

$$cos(A) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}$$ $$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = -4 \cdot 4 + 2 \cdot (-4) = -16 - 8 = -24$$ $$|\overline{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$ $$|\overline{AC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$ $$cos(A) = \frac{-24}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{32}} = \frac{-24}{\sqrt{640}} = \frac{-24}{8\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}} = -0.95$$

Косинус угла B

$$\overline{BA} = \{4;-2\}$$

$$\overline{BC} = \{8;-6\}$$

$$cos(B) = \frac{\overline{BA} \cdot \overline{BC}}{|\overline{BA}| \cdot |\overline{BC}|}$$ $$\overline{BA} \cdot \overline{BC} = 4 \cdot 8 + (-2) \cdot (-6) = 32 + 12 = 44$$ $$|\overline{BA}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$ $$|\overline{BC}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ $$cos(B) = \frac{44}{\sqrt{20} \cdot 10} = \frac{44}{10\sqrt{20}} = \frac{44}{10 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = 0.98$$

Косинус угла C

$$\overline{CB} = \{-8;6\}$$

$$\overline{CA} = \{-4;4\}$$

$$cos(C) = \frac{\overline{CB} \cdot \overline{CA}}{|\overline{CB}| \cdot |\overline{CA}|}$$ $$\overline{CB} \cdot \overline{CA} = -8 \cdot (-4) + 6 \cdot 4 = 32 + 24 = 56$$ $$|\overline{CB}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ $$|\overline{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$ $$cos(C) = \frac{56}{10 \cdot \sqrt{32}} = \frac{56}{10 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{14}{10\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = 0.99$$

Ответ: cos(A) = -0.95, cos(B) = 0.98, cos(C) = 0.99