31. Найдите наибольшее значение выражения 4 (( x+1 2 )²+( x-1 2 )²)²

Найдем наибольшее значение выражения: $$\frac{4}{(\frac{x+1}{2})^2 + (\frac{x-1}{2})^2)^2}$$ Преобразуем выражение в скобках: $$(\frac{x+1}{2})^2 + (\frac{x-1}{2})^2 = \frac{x^2 + 2x + 1}{4} + \frac{x^2 - 2x + 1}{4} = \frac{2x^2 + 2}{4} = \frac{x^2 + 1}{2}$$ Тогда исходное выражение примет вид: $$\frac{4}{(\frac{x^2+1}{2})^2} = \frac{4}{\frac{(x^2+1)^2}{4}} = \frac{16}{(x^2+1)^2}$$ Выражение принимает наибольшее значение при минимальном значении знаменателя. Минимальное значение знаменателя (x^2+1)^2 достигается при x=0, тогда (0^2 + 1)^2 = 1 Таким образом, наибольшее значение выражения: $$\frac{16}{(0+1)^2} = 16$$ Ответ: 16