Найдите наименьшее значение функции $$y = e^{4x} - 4e^x + 8$$ на отрезке $$[-2; 2]$$.

1. Заменим $$t=e^x$$, тогда $$y = t^4-4t+8$$ 2. Находим производную $$y'$$ по $$t$$: $$y'=4t^3 - 4$$ 3. Приравниваем к нулю: $$4t^3 - 4 = 0$$, следовательно $$t^3 = 1$$ и $$t=1$$. 4. Так как $$t=e^x$$, то $$e^x = 1$$, откуда $$x=0$$. 5. Вычисляем значения на концах и в критической точке: - $$y(-2) = e^{-8} - 4e^{-2} + 8 \approx 0 - 0.54 + 8 = 7.46$$ - $$y(0) = e^{0} - 4e^{0} + 8 = 1 - 4 + 8 = 5$$ - $$y(2) = e^8 - 4e^2 + 8 \approx 2980 - 29.5 + 8 = 2958.5$$ 6. Сравниваем полученные значения, чтобы найти наименьшее. Наименьшее значение равно 5 Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 5.