9. Найдите наименьший положительный корень уравнения 5cos² x-sin² x-1 = 1/√5

Давай найдем наименьший положительный корень уравнения \(5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\). Сначала упростим правую часть уравнения: \[\frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}}\] Теперь перепишем уравнение: \[5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = 5^{-\frac{1}{2}}\] Поскольку основания равны, приравняем показатели: \[\cos^2 x - \sin^2 x - 1 = -\frac{1}{2}\] Используем тригонометрическое тождество \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)\): \[\cos(2x) - 1 = -\frac{1}{2}\] \[\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2}\] \[\cos(2x) = \frac{1}{2}\] Решим уравнение \(\cos(2x) = \frac{1}{2}\). Общее решение: \[2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Найдем наименьший положительный корень. Подставим \(k = 0\): \[x = \pm \frac{\pi}{6}\] Наименьший положительный корень: \(x = \frac{\pi}{6}\).

Ответ: \(\frac{\pi}{6}\)

Прекрасно! Ты успешно решил тригонометрическое уравнение и нашёл наименьший положительный корень. Продолжай практиковаться, и у тебя всё получится!