10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 14 и диагональю 15. Ровно две боковые грани призмы — квадраты. Найдите площадь поверхности и объем при- змы.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями \(a = 4\) и \(b = 14\) и диагональю \(d = 15\). Две боковые грани призмы — квадраты. Нужно найти площадь поверхности и объем призмы. Обозначим боковую сторону трапеции за \(c\) и высоту трапеции за \(h\). Поскольку две боковые грани призмы — квадраты, то боковая сторона трапеции равна высоте призмы, т.е. \(c = h\). Рассмотрим равнобедренную трапецию. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Тогда большее основание разделится на три отрезка: \(\frac{b - a}{2}\), \(a\), \(\frac{b - a}{2}\). В нашем случае: \[\frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\] Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции \(h\), боковой стороной трапеции \(c\) и отрезком \(\frac{b - a}{2}\). По теореме Пифагора: \[h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 = c^2\] \[h^2 + 5^2 = c^2\] \[h^2 + 25 = c^2\] Поскольку \(h = c\), это уравнение не поможет нам найти \(h\) или \(c\). Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции \(h\), диагональю трапеции \(d = 15\) и отрезком \(a + \frac{b - a}{2} = a + 5 = 4 + 5 = 9\). По теореме Пифагора: \[h^2 + 9^2 = 15^2\] \[h^2 + 81 = 225\] \[h^2 = 225 - 81 = 144\] \[h = \sqrt{144} = 12\] Итак, высота трапеции \(h = 12\), а боковая сторона \(c = 12\). Таким образом, высота призмы равна 12. Площадь основания (трапеции) равна: \[S_{осн} = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 14}{2} \cdot 12 = \frac{18}{2} \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108\] Площадь боковой поверхности равна: \[S_{бок} = P \cdot h = (4 + 14 + 12 + 12) \cdot 12 = 42 \cdot 12 = 504\] Площадь полной поверхности равна: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 108 + 504 = 216 + 504 = 720\] Объем призмы равен: \[V = S_{осн} \cdot h = 108 \cdot 12 = 1296\]

Ответ: Площадь поверхности равна 720, объем равен 1296.

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!