Найдите объём прямой призмы, если в её основании лежит правильный треугольник со стороной 1, а площадь боковой поверхности равна 3.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, а \( h \) — высота призмы (она же боковое ребро).
2. Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 1 \). Его периметр \( P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 1 = 3 \).
3. Из условия \( S_{бок} = 3 \) и \( P_{осн} = 3 \) найдём высоту: \( 3 = 3 \cdot h \), следовательно \( h = 1 \).
4. Объём прямой призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \).
5. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
6. Подставим \( a = 1 \): \( S_{осн} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
7. Теперь найдём объём: \( V = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \).