Найдите значение tga, если ctga = - 3 и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
2. Разделим обе части на \( \cos^2\alpha \) (при условии, что \( \cos\alpha \neq 0 \)): \( \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).
3. Это даёт \( \mathrm{tg}^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).
4. Нам известно, что \( \mathrm{ctg}\alpha = \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha} \), значит \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha} \).
5. Так как \( \mathrm{ctg}\alpha = -3 \), то \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \).
6. Условие \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) означает, что угол \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте. В четвёртом квадранте тангенс отрицателен, что соответствует нашему результату.

Ответ: \( \mathrm{tg}\alpha = -\frac{1}{3} \).