3. Найдите объем V конуса, образующая которого равна \(14\sqrt{3}\) и наклонена к плоскости основания под углом 60°. В ответе укажите \(\frac{V}{\pi}\). [Ответ: 1029]

Решение:

Образующая конуса, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°, значит, \(h = l \cdot \sin{60°}\), где l – образующая.

\(h = 14\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \cdot \frac{3}{2} = 7 \cdot 3 = 21\)

\(R = l \cdot \cos{60°} = 14\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 7\sqrt{3}\)

Объем конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (7\sqrt{3})^2 \cdot 21 = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 3 \cdot 21 = \pi \cdot 49 \cdot 21 = 1029\pi\)

Значит, \(\frac{V}{\pi} = 1029\)

Ответ: 1029