1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведенной к основанию.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии и формулами для нахождения площади круга и радиуса описанной окружности.

1. а) Прямоугольник со сторонами a и b:

   Радиус описанной окружности около прямоугольника равен половине его диагонали. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$.

   Следовательно, радиус описанной окружности: $$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$.

   Площадь круга равна: $$S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} (a^2 + b^2)$$.

2. б) Прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α:

   В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

   Гипотенузу можно выразить через катет и противолежащий угол: $$c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$$.

   Тогда радиус описанной окружности: $$R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$$.

   Площадь круга: $$S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{a}{2\sin(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$$.

3. в) Равнобедренный треугольник с основанием a и высотой h, проведенной к основанию:

   Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника можно найти по формуле: $$R = \frac{a^2 c}{4 S_{\triangle}}$$, где $$a$$ - основание, $$c$$ - боковая сторона, $$S_{\triangle}$$ - площадь треугольника.

   Площадь треугольника: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} a h$$.

   Боковую сторону можно найти по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$.

   Радиус описанной окружности: $$R = \frac{c^2}{2h} = \frac{(\frac{a^2}{4} + h^2)}{2h} = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$$.

   Площадь круга: $$S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{a^2 + 4h^2}{8h} \right)^2 = \frac{\pi (a^2 + 4h^2)^2}{64 h^2}$$.

Ответ:

• а) $$S = \frac{\pi}{4} (a^2 + b^2)$$
• б) $$S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$$
• в) $$S = \frac{\pi (a^2 + 4h^2)^2}{64 h^2}$$