1117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной a; б) в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием a и острым углом α.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии и формулами для нахождения площади круга и радиуса вписанной окружности.

1. а) В равносторонний треугольник со стороной a:

   В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$.

   Площадь круга равна: $$S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}$$.

2. б) В прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α:

   Радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{a+b-c}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза.

   Выразим катет $$b$$ и гипотенузу $$c$$ через катет $$a$$ и угол $$\alpha$$: $$b = a \cdot tg(\alpha)$$, $$c = \frac{a}{\cos(\alpha)}$$.

   Тогда радиус равен: $$r = \frac{a + a \cdot tg(\alpha) - \frac{a}{\cos(\alpha)}}{2} = \frac{a}{2} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{\cos(\alpha)} \right)$$.

   Площадь круга: $$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{\cos(\alpha)} \right)\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{\cos(\alpha)} \right)^2$$.

3. в) В равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию:

   Угол при основании равен $$\frac{\pi - \alpha}{2}$$.

   Основание треугольника равно $$b = 2a \cos\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right) = 2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$.

   Площадь треугольника равна $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$$.

   Полупериметр равен $$p = \frac{2a + 2a \sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = a + a \sin(\frac{\alpha}{2})$$.

   Радиус вписанной окружности $$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{a^2 \sin(\alpha)}{2(a + a \sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))}$$.

   Площадь круга $$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))}\right)^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2(\alpha)}{4(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$$.

4. г) В равнобедренную трапецию с большим основанием a и острым углом α:

   В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть меньшее основание равно b, тогда 2a = 2b + 2c, где c - боковая сторона трапеции. Значит b = a - c.

   Боковая сторона равна c = h/sin(α), где h - высота трапеции.

   Меньшее основание: b = a - h/sin(α).

   Высота: h = (a - b) * tg(α)

   Радиус вписанной окружности: r = h/2 = (a - b) * tg(α)/2 = h/2.

   Площадь: $$S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{h}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{(a - (a - c)) \cdot tg(\alpha)}{2} \right)^2= \pi \left( \frac{c \cdot sin(\alpha)}{2} \right)^2 = \pi (\frac{ a \sin^2(α)}{4} )^2$$

Ответ:

• а) $$S = \frac{\pi a^2}{12}$$
• б) $$S = \frac{\pi a^2}{4} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{\cos(\alpha)} \right)^2$$
• в) $$S = \frac{\pi a^2 \sin^2(\alpha)}{4(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$$
• г) $$S = \pi \left( \frac{ a \sin^2(α)}{4} \right)^2$$