2.522 Найдите произведение дробей \frac{4}{5} и \frac{13}{9} и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Найдем произведение дробей \frac{4}{5} и \frac{13}{9}:

$$ \frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45} $$

Найдем дроби, обратные данным:

Для дроби \frac{4}{5} обратная дробь \frac{5}{4}, для дроби \frac{13}{9} обратная дробь \frac{9}{13}.

Найдем произведение обратных дробей:

$$ \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52} $$

Заметим, что произведение дробей \frac{4}{5} и \frac{13}{9} равно \frac{52}{45}, а произведение обратных дробей равно \frac{45}{52}. Эти произведения являются взаимно обратными числами, так как $$ \frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = 1 $$.

Проверим это свойство на другом примере.

Пусть даны дроби \frac{2}{3} и \frac{7}{5}. Их произведение равно

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15} $$

Обратные дроби \frac{3}{2} и \frac{5}{7}. Их произведение равно

$$ \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 7} = \frac{15}{14} $$

И снова произведения являются взаимно обратными числами: $$ \frac{14}{15} \cdot \frac{15}{14} = 1 $$.

Докажем это свойство в общем виде.

Пусть даны дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Их произведение равно $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$.

Обратные дроби \frac{b}{a} и \frac{d}{c}. Их произведение равно $$ \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b \cdot d}{a \cdot c} $$.

Произведение произведения данных дробей и произведения обратных дробей равно

$$ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{b \cdot d}{a \cdot c} = 1 $$.

Следовательно, произведение данных дробей и произведение обратных дробей являются взаимно обратными числами.

Ответ: Произведение дробей и произведение обратных дробей являются взаимно обратными числами.