7. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а), если а₁ = 6, a₁₃ = 42.

Для нахождения суммы десяти первых членов арифметической прогрессии, сначала нужно найти разность d и десятый член a₁₀.

• Найдем разность d, используя формулу:

\[ a_{13} = a_1 + 12d \]
\[ 42 = 6 + 12d \]
\[ 12d = 42 - 6 \]
\[ 12d = 36 \]
\[ d = \frac{36}{12} \]
\[ d = 3 \]

• Теперь найдем десятый член a₁₀:

\[ a_{10} = a_1 + 9d \]
\[ a_{10} = 6 + 9(3) \]
\[ a_{10} = 6 + 27 \]
\[ a_{10} = 33 \]

• Используем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

В данном случае n = 10, a₁ = 6, и a₁₀ = 33. Подставим эти значения в формулу:

\[ S_{10} = \frac{6 + 33}{2} \cdot 10 \]
\[ S_{10} = \frac{39}{2} \cdot 10 \]
\[ S_{10} = 19.5 \cdot 10 \]
\[ S_{10} = 195 \]

Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 195.