372-Найдите сумму пятидесяти, ста, n первых членов последо- вательности (хₙ), если: а) хₙ=4n+2; б) xₙ=2n+3.

a) Найти: S₅₀, S₁₀₀, Sₙ для последовательности xₙ = 4n + 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2}$$

Найдем x₁:

$$x_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$$

Найдем x₅₀:

$$x_{50} = 4 \cdot 50 + 2 = 202$$

Найдем x₁₀₀:

$$x_{100} = 4 \cdot 100 + 2 = 402$$

Найдем S₅₀:

$$S_{50} = \frac{50(6 + 202)}{2} = \frac{50 \cdot 208}{2} = 25 \cdot 208 = 5200$$

Найдем S₁₀₀:

$$S_{100} = \frac{100(6 + 402)}{2} = \frac{100 \cdot 408}{2} = 50 \cdot 408 = 20400$$

Найдем Sₙ:

$$S_n = \frac{n(6 + 4n + 2)}{2} = \frac{n(4n + 8)}{2} = n(2n + 4) = 2n^2 + 4n$$

Ответ: S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400, Sₙ = 2n² + 4n

б) Найти: S₅₀, S₁₀₀, Sₙ для последовательности xₙ = 2n + 3.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2}$$

Найдем x₁:

$$x_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$$

Найдем x₅₀:

$$x_{50} = 2 \cdot 50 + 3 = 103$$

Найдем x₁₀₀:

$$x_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 203$$

Найдем S₅₀:

$$S_{50} = \frac{50(5 + 103)}{2} = \frac{50 \cdot 108}{2} = 25 \cdot 108 = 2700$$

Найдем S₁₀₀:

$$S_{100} = \frac{100(5 + 203)}{2} = \frac{100 \cdot 208}{2} = 50 \cdot 208 = 10400$$

Найдем Sₙ:

$$S_n = \frac{n(5 + 2n + 3)}{2} = \frac{n(2n + 8)}{2} = n(n + 4) = n^2 + 4n$$

Ответ: S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400, Sₙ = n² + 4n