374 Найдите: а) сумму 2+4+6+...+2п, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2п; б) сумму 1+3+5+...+(2n-1), слагаемыми которой являются все нечетные натуральные числа от 1 до 2п-1.

а) Дано: сумма 2 + 4 + 6 + ... + 2n. Найти: S.

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

В нашем случае a₁ = 2, aₙ = 2n. Количество членов равно n.

Подставим в формулу:

$$S_n = \frac{n(2 + 2n)}{2} = \frac{2n(1 + n)}{2} = n(n + 1)$$

Ответ: n(n+1)

б) Дано: сумма 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). Найти: S.

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

В нашем случае a₁ = 1, aₙ = 2n - 1. Количество членов равно n.

Подставим в формулу:

$$S_n = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2$$

Ответ: n²