23.12. Найдите tg 2α, если: 1) ctg α = 2; 2) cos a = -3/5 и π < α < 3π/2.

1) Если ctg α = 2, то tg α = 1 / ctg α = 1/2.

Теперь найдем tg 2α по формуле tg 2α = (2tg α) / (1 - tg²α):

tg 2α = (2 ⋅ (1/2)) / (1 - (1/2)²) = 1 / (1 - 1/4) = 1 / (3/4) = 4/3

2) Найдем sin α, зная cos α, по формуле sin²α + cos²α = 1:

sin²α = 1 - cos²α

sin²α = 1 - (-3/5)² = 1 - 9/25 = (25 - 9) / 25 = 16/25

sin α = ±√(16/25) = ±4/5

Так как π < α < 3π/2, то α находится в III четверти, где sin α < 0, значит sin α = -4/5.

Теперь найдем tg α = sin α / cos α = (-4/5) / (-3/5) = 4/3.

Теперь найдем tg 2α по формуле tg 2α = (2tg α) / (1 - tg²α):

tg 2α = (2 ⋅ (4/3)) / (1 - (4/3)²) = (8/3) / (1 - 16/9) = (8/3) / (-7/9) = (8/3) ⋅ (-9/7) = -24/7

Ответ: 1) 4/3; 2) -24/7