23.11. Найдите tg 20, если: 1) tga = 1; 2) sin a = √5/3 и 0 < α < π/2.

1) Если tg α = 1, то α = π/4 + πn, n ∈ Z.

Тогда 2α = π/2 + 2πn.

tg 2α = tg (π/2 + 2πn) не определен.

2) Найдем cos α, зная sin α, по формуле sin²α + cos²α = 1:

cos²α = 1 - sin²α

cos²α = 1 - (√5/3)² = 1 - 5/9 = 4/9

cos α = ±√(4/9) = ±2/3

Так как 0 < α < π/2, то α находится в I четверти, где cos α > 0, значит cos α = 2/3.

Теперь найдем tg α = sin α / cos α = (√5/3) / (2/3) = √5/2.

Теперь найдем tg 2α по формуле tg 2α = (2tg α) / (1 - tg²α):

tg 2α = (2 ⋅ (√5/2)) / (1 - (√5/2)²) = √5 / (1 - 5/4) = √5 / (-1/4) = -4√5

Ответ: 1) не определен; 2) -4√5