Найдите точку минимума функции \(y = -\frac{x}{x^2 + 225}\).

**Решение:** 1. Найдем производную функции \(y = -\frac{x}{x^2 + 225}\). Используем правило дифференцирования частного: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Здесь \(u = -x\) и \(v = x^2 + 225\). Тогда \(u' = -1\) и \(v' = 2x\). \[y' = -\frac{1 \cdot (x^2 + 225) - x \cdot 2x}{(x^2 + 225)^2} = -\frac{x^2 + 225 - 2x^2}{(x^2 + 225)^2} = -\frac{225 - x^2}{(x^2 + 225)^2} = \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2}\] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[\frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[x^2 - 225 = 0\] \[x^2 = 225\] \[x = \pm 15\] 3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти точку минимума. Для этого возьмём пробные точки из каждого интервала: * Интервал \((-\infty, -15)\): пусть \(x = -20\). Тогда \(y' = \frac{(-20)^2 - 225}{((-20)^2 + 225)^2} = \frac{400 - 225}{(400 + 225)^2} > 0\). * Интервал \((-15, 15)\): пусть \(x = 0\). Тогда \(y' = \frac{0^2 - 225}{(0^2 + 225)^2} = \frac{-225}{225^2} < 0\). * Интервал \((15, \infty)\): пусть \(x = 20\). Тогда \(y' = \frac{20^2 - 225}{(20^2 + 225)^2} = \frac{400 - 225}{(400 + 225)^2} > 0\). 4. Определим точку минимума. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке \(x = 15\). **Ответ:** 15