Найдите значение выражения \(\frac{25^{\log_6 21}}{25^{\log_6 7}}\) .

**Решение:** 1. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). \[\frac{25^{\log_6 21}}{25^{\log_6 7}} = 25^{\log_6 21 - \log_6 7}\] 2. Применим свойство логарифмов: \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\). \[25^{\log_6 21 - \log_6 7} = 25^{\log_6 \frac{21}{7}}\] \[25^{\log_6 3}\] 3. Представим 25 как \(5^2\): \[25^{\log_6 3} = (5^2)^{\log_6 3} = 5^{2\log_6 3}\] 4. Воспользуемся свойством степени: \(a^{m \cdot n} = (a^m)^n\). \[5^{2\log_6 3} = 5^{\log_6 3^2} = 5^{\log_6 9}\] К сожалению, дальнейшее упрощение без калькулятора или таблиц затруднительно. Попробуем найти другое решение. Используем свойство логарифма: \(a^{\log_a x} = x\). Чтобы применить это свойство, нам нужно преобразовать основание. Представим \(25 = 6^{\log_6 25}\) тогда выражение будет иметь вид \[(6^{\log_6 25})^{\log_6 3} = 6^{\log_6 25 \cdot \log_6 3}\] Это тоже не помогает. Попробуем воспользоваться свойством замены основания логарифма. Пусть \(x = 25^{\log_6 3}\). Тогда \(\log_{25} x = \log_6 3\). \(\log_{5^2} x = \log_6 3\) или \(\frac{1}{2} \log_5 x = \log_6 3\) или \(\log_5 x = 2 \log_6 3 = \log_6 9\) Тогда \(5^{\log_5 x} = 5^{\log_6 9}\) или \(x = 5^{\log_6 9}\) В итоге задача сводится к \(5^{\log_6 9}\). **Ответ:** В зависимости от требуемой точности, можно оставить ответ в виде \(25^{\log_6 3}\) или \(5^{\log_6 9}\). Если требуется числовое значение, понадобится калькулятор.