2 Найдите угол между единичными векторами а и Б, если векторы 0,40-26 и За - б перпенди- кулярны.

Решение задания 2.

Дано: векторы $$0.4\vec{a} - 2\vec{b}$$ и $$3\vec{a} - \vec{b}$$ перпендикулярны, $$|\vec{a}| = 1$$, $$|\vec{b}| = 1$$.

Найти: угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$.

Решение:

Т.к. векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0:

$$(0.4\vec{a} - 2\vec{b})(3\vec{a} - \vec{b}) = 1.2\vec{a}^2 - 0.4\vec{a}\vec{b} - 6\vec{b}\vec{a} + 2\vec{b}^2 = 1.2|\vec{a}|^2 - 6.4\vec{a}\vec{b} + 2|\vec{b}|^2 = 0$$

Выразим скалярное произведение векторов через их длины и угол между ними:

$$\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\varphi = cos\varphi$$

Тогда:

$$1.2 - 6.4cos\varphi + 2 = 0$$

$$6.4cos\varphi = 3.2$$

$$cos\varphi = \frac{3.2}{6.4} = \frac{1}{2}$$

$$\varphi = arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$$

Ответ: $$60^\circ$$