Вариант В1 1 Найдите скалярное произведение векторов а и Б, если a) a = 2m -3n, b = m + 2n, |m| = 4, || = 1, ∠(m, n) = 135°; б) ā (2a - b) = 8, |a| = 2.

Решение варианта В1, задание 1.

a) Дано: $$|\vec{m}| = 4$$, $$|\vec{n}| = 1$$, $$\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 135^\circ$$; $$\vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n}$$, $$\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$$.

Найти: $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} - 3\vec{n})(\vec{m} + 2\vec{n}) = 2\vec{m}^2 + 4\vec{m}\vec{n} - 3\vec{n}\vec{m} - 6\vec{n}^2 = 2|\vec{m}|^2 + \vec{m}\vec{n} - 6|\vec{n}|^2$$

Используем формулу: $$\vec{m}\vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|cos\angle(\vec{m}, \vec{n})$$

$$\vec{m}\vec{n} = 4 \cdot 1 \cdot cos135^\circ = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$$

Тогда:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4^2 - 2\sqrt{2} - 6 \cdot 1^2 = 32 - 6 - 2\sqrt{2} = 26 - 2\sqrt{2}$$

б) Дано: $$\vec{a} (2\vec{a} - \vec{b}) = 8$$, $$|\vec{a}| = 2$$

Найти: $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$

Решение:

$$\vec{a} (2\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b} = 2|\vec{a}|^2 - \vec{a}\vec{b} = 8$$

$$\vec{a}\vec{b} = 2|\vec{a}|^2 - 8 = 2 \cdot 2^2 - 8 = 8 - 8 = 0$$

Ответ: a) $$26 - 2\sqrt{2}$$, б) $$0$$