2 Найдите угол между единичными векторами а и Б, если векторы а-36 и а-0,26 перпендику- лярны.

Решение задания 2.

Дано: векторы $$\vec{a} - 3\vec{b}$$ и $$\vec{a} - 0.2\vec{b}$$ перпендикулярны, $$|\vec{a}| = 1$$, $$|\vec{b}| = 1$$.

Найти: угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$.

Решение:

Т.к. векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0:

$$(\vec{a} - 3\vec{b})(\vec{a} - 0.2\vec{b}) = \vec{a}^2 - 0.2\vec{a}\vec{b} - 3\vec{b}\vec{a} + 0.6\vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 - 3.2\vec{a}\vec{b} + 0.6|\vec{b}|^2 = 0$$

Выразим скалярное произведение векторов через их длины и угол между ними:

$$\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\varphi = cos\varphi$$

Тогда:

$$1 - 3.2cos\varphi + 0.6 = 0$$

$$3.2cos\varphi = 1.6$$

$$cos\varphi = \frac{1.6}{3.2} = \frac{1}{2}$$

$$\varphi = arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$$

Ответ: $$60^\circ$$