Вариант В2 1 Найдите скалярное произведение векторов а и Б, если a) a = 2m + 3ñ, b = m - 2n, |m| = 1, || = 3, ∠(m, n) = 150°; б) (ā +26)6 = 18, |Б| = 3.

Решение варианта В2, задание 1.

a) Дано: $$|\vec{m}| = 1$$, $$|\vec{n}| = 3$$, $$\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^\circ$$; $$\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$$, $$\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$$.

Найти: $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} + 3\vec{n})(\vec{m} - 2\vec{n}) = 2\vec{m}^2 - 4\vec{m}\vec{n} + 3\vec{n}\vec{m} - 6\vec{n}^2 = 2|\vec{m}|^2 - \vec{m}\vec{n} - 6|\vec{n}|^2$$

Используем формулу: $$\vec{m}\vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|cos\angle(\vec{m}, \vec{n})$$

$$\vec{m}\vec{n} = 1 \cdot 3 \cdot cos150^\circ = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Тогда:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1^2 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - 6 \cdot 3^2 = 2 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - 54 = -52 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

б) Дано: $$(\vec{a} + 2\vec{b})\vec{b} = 18$$, $$|\vec{b}| = 3$$

Найти: $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$

Решение:

$$(\vec{a} + 2\vec{b})\vec{b} = \vec{a}\vec{b} + 2\vec{b}^2 = \vec{a}\vec{b} + 2|\vec{b}|^2 = 18$$

$$\vec{a}\vec{b} = 18 - 2|\vec{b}|^2 = 18 - 2 \cdot 3^2 = 18 - 18 = 0$$

Ответ: a) $$-52 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$$, б) $$0$$