6. Найдите значение выражения 12√3 cos²(17π/12) - √108.

Ответ: -6

Решение:

Шаг 1: Представим √108 как 6√3

12√3 cos²(17π/12) - √108 = 12√3 cos²(17π/12) - 6√3

Шаг 2: Вынесем общий множитель 6√3 за скобки

12√3 cos²(17π/12) - 6√3 = 6√3(2cos²(17π/12) - 1)

Шаг 3: Используем формулу косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos²(x) - 1

6√3(2cos²(17π/12) - 1) = 6√3 cos(2 * 17π/12) = 6√3 cos(17π/6)

Шаг 4: Упростим угол 17π/6

17π/6 = (12π + 5π) / 6 = 2π + 5π/6. Значит, cos(17π/6) = cos(5π/6)

Шаг 5: Найдем cos(5π/6)

cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2

Шаг 6: Подставим значение cos(5π/6) в выражение

6√3 cos(17π/6) = 6√3 * (-√3/2) = -6 * 3 / 2 = -9

Шаг 7: Запишем ответ

Ответ: -9