Найдите значение выражения \(\frac{3ab}{a+3b} \cdot (\frac{a}{3b} - \frac{3b}{a})\) при \(a = 3\sqrt{2}+4, b = \sqrt{2}-3\)

Для решения данного выражения необходимо подставить значения a и b и упростить его. 1. Подставим значения a и b в выражение: $$\frac{3(3\sqrt{2}+4)(\sqrt{2}-3)}{(3\sqrt{2}+4)+3(\sqrt{2}-3)} \cdot (\frac{3\sqrt{2}+4}{3(\sqrt{2}-3)} - \frac{3(\sqrt{2}-3)}{3\sqrt{2}+4})$$ 2. Упростим знаменатель первой дроби: $$(3\sqrt{2}+4)+3(\sqrt{2}-3) = 3\sqrt{2} + 4 + 3\sqrt{2} - 9 = 6\sqrt{2} - 5$$ 3. Упростим выражение в скобках: $$\frac{(3\sqrt{2}+4)^2 - 9(\sqrt{2}-3)^2}{3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4)}$$ 4. Раскроем квадраты: $$(3\sqrt{2}+4)^2 = 18 + 24\sqrt{2} + 16 = 34 + 24\sqrt{2}$$ $$(\sqrt{2}-3)^2 = 2 - 6\sqrt{2} + 9 = 11 - 6\sqrt{2}$$ 5. Подставим обратно: $$\frac{34 + 24\sqrt{2} - 9(11 - 6\sqrt{2})}{3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4)} = \frac{34 + 24\sqrt{2} - 99 + 54\sqrt{2})}{3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4)} = \frac{-65 + 78\sqrt{2}}{3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4)}$$ 6. Упростим числитель первой дроби: $$3(3\sqrt{2}+4)(\sqrt{2}-3) = 3(6 - 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 12) = 3(-6 - 5\sqrt{2}) = -18 - 15\sqrt{2}$$ 7. Теперь исходное выражение: $$\frac{-18 - 15\sqrt{2}}{6\sqrt{2} - 5} \cdot \frac{-65 + 78\sqrt{2}}{3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4)}$$ 8. Раскроем знаменатель второй дроби: $$3(\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+4) = 3(6 + 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2} - 12) = 3(-6 - 5\sqrt{2}) = -18 - 15\sqrt{2}$$ 9. Итоговое выражение: $$\frac{-18 - 15\sqrt{2}}{6\sqrt{2} - 5} \cdot \frac{-65 + 78\sqrt{2}}{-18 - 15\sqrt{2}} = \frac{-65 + 78\sqrt{2}}{6\sqrt{2} - 5}$$ 10. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю: $$\frac{(-65 + 78\sqrt{2})(6\sqrt{2} + 5)}{(6\sqrt{2} - 5)(6\sqrt{2} + 5)} = \frac{-390\sqrt{2} - 325 + 936 + 390\sqrt{2}}{72 - 25} = \frac{611}{47} = 13$$ Ответ: 13