При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\frac{x}{|x| + 2}\)?

Для того чтобы выражение \(\frac{x}{|x| + 2}\) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. То есть, должно выполняться условие: $$|x| + 2
eq 0$$ Модуль любого числа всегда неотрицателен, то есть \(|x| \geq 0\). Следовательно, \(|x| + 2 \geq 2\), а значит, \(|x| + 2\) всегда больше нуля и никогда не равняется нулю. Таким образом, знаменатель всегда отличен от нуля при любом значении \(x\). Ответ: \(x \in \mathbb{R}\) (x - любое действительное число)