1 16.5 Найти f'(+), если f(x) = 4√x + 10х 9

Необходимо найти производную функции $$f(x) = 4\sqrt{x} + 10x$$, а затем вычислить её значение в точке $$x = \frac{1}{9}$$.

1. Производная суммы равна сумме производных: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$.

2. Производная степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

3. Производная константы, умноженной на функцию: $$(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$$.

4. Представим корень как степень: $$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$.

Тогда:

$$ f(x) = 4x^{\frac{1}{2}} + 10x $$.

$$ f'(x) = (4x^{\frac{1}{2}} + 10x)' = (4x^{\frac{1}{2}})' + (10x)' $$.

$$ (4x^{\frac{1}{2}})' = 4 \cdot (x^{\frac{1}{2}})' = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$.

$$ (10x)' = 10 $$.

$$ f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 10 $$.

Теперь найдем значение производной в точке $$x = \frac{1}{9}$$:

$$ f'(\frac{1}{9}) = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{9}}} + 10 = \frac{2}{\frac{1}{3}} + 10 = 2 \cdot 3 + 10 = 6 + 10 = 16 $$.

Ответ: 16