7. Не выполняя построения графика, для функции f(x) = -3(x + 2)2 + 12 найдите: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Решение:

Для функции f(x) = -3(x + 2)² + 12:

а) Область определения:

Областью определения квадратичной функции являются все действительные числа.

Ответ: (-∞, +∞)

б) Множество значений:

Так как коэффициент перед (x + 2)² отрицательный (-3), парабола направлена вниз. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке (-2, 12). Следовательно, множество значений - это все значения, не превышающие 12.

Ответ: (-∞, 12]

в) Наименьшее (наибольшее) значение:

Так как парабола направлена вниз, функция имеет наибольшее значение, равное 12, в вершине параболы.

Ответ: Наибольшее значение: 12. Наименьшего значения нет.

г) Уравнение оси симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через вершину параболы. В данном случае, x = -2.

Ответ: x = -2

д) Нули:

Для нахождения нулей функции, решим уравнение -3(x + 2)² + 12 = 0:

x = -2 ± 2

x₁ = -2 + 2 = 0

x₂ = -2 - 2 = -4

Ответ: x = 0, x = -4

е) Промежутки знакопостоянства:

f(x) > 0 при x ∈ (-4, 0)

f(x) < 0 при x ∈ (-∞, -4) ∪ (0, +∞)

ж) Промежутки монотонности:

Функция возрастает на интервале (-∞, -2].

Функция убывает на интервале [-2, +∞).