О4.16. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: а) (√(10b) − √15)/(√(15b) − √5); б) (∛(x²) − ∛(xy))/(∛x − ∛(xy)); в) (⁴√14 + ⁴√(21k))/(⁴√(7k) − ⁴√14); г) (⁴√(a²) − ⁴√(ad))/(⁴√(3a) − ⁴√(a²d).

а) Вынесем общий множитель в каждом корне: \(\dfrac{\sqrt{2b}-\sqrt3}{\sqrt{3b}-1}\). Общих множителей, сокращающихся при произвольном неотрицательном \(b\), нет.

б) Обозначим \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Тогда дробь равна \(\dfrac{u^2-uv}{u-uv}=\dfrac{u(u-v)}{u(1-v)}\).

Ответ: б) \(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{1-\sqrt[3]{y}}\).

в), г) В данных выражениях общих сокращаемых множителей нет. После вынесения очевидных множителей получаем соответственно \(\dfrac{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k}-\sqrt[4]{2}}\) и \(\dfrac{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{ad}}\). Их нельзя сократить при произвольных значениях переменных.