О4.18. Сократите дроби: а) (√a − ∛(b²))/(⁴√a − ∛b); б) (⁵√(x⁹) − 1)/(⁵√(x³) − 1); в) (√b − a³)/(a√a + ⁴√b); г) (√a − b√b)/(⁶√a − √b).

а) Обозначим \(u=\sqrt[4]{a}\), \(v=\sqrt[3]{b}\). Получаем \(\dfrac{u^2-v^2}{u-v}=u+v\). Ответ: \(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}\).

б) Пусть \(t=\sqrt[5]{x^3}\). Тогда дробь равна \(\dfrac{t^3-1}{t-1}=t^2+t+1\). Ответ: \(\sqrt[5]{x^6}+\sqrt[5]{x^3}+1\).

в) Пусть \(u=\sqrt a\), \(v=\sqrt[4]{b}\). Тогда дробь равна \(\dfrac{v^2-u^6}{u^3+v}=v-u^3\). Ответ: \(\sqrt[4]{b}-a\sqrt a\).

г) Пусть \(u=\sqrt[6]{a}\), \(v=\sqrt b\). Тогда дробь равна \(\dfrac{u^3-v^3}{u-v}=u^2+uv+v^2\). Ответ: \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt b\).