117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен 124°. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть треугольник ABC равнобедренный, и его углы равны \( \angle A \), \( \angle B \), \( \angle C \), где \( \angle A = \angle C \). Пусть биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Тогда \( \angle AOC = 124^\circ \). Решение 1: Пусть угол AOC образован биссектрисами углов при основании. Тогда \( \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \). Так как AO и CO - биссектрисы, то \( \angle A + \angle C = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ \). Значит, \( \angle B = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \). Тогда углы при основании равны \( \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ \). Решение 2: Допустим, что угол 124 градуса образуется пересечением биссектрисы угла при основании и биссектрисы угла при вершине. Тогда получается, что \( \angle AOC = 124^\circ \). Тогда \( \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \). Пусть \( \angle A = \angle C \). По условию, биссектриса угла при вершине и биссектриса угла при основании при пересечении образуют угол 124 градуса. В этом случае получается, что \( \angle BAC + \angle ABC/2 = 180 - 124 = 56 \). В равнобедренном треугольнике два угла равны. Пусть \( \angle B = x \). Тогда \( 2 \angle A + x = 180 \). \( \angle A = \frac{(180-x)}{2} \). Подставим значение угла А в предыдущее равенство: \( \frac{(180-x)}{2} + x/2 = 56 \). Тогда \( 180/2 = 56 \). Угол 90 = 56, чего быть не может. Ответ: 56°, 56°, 68°.