7. Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем математический маятник длиной 60 см.

Пусть $$L_1$$ – длина первого маятника, $$L_2 = 0.6 \text{ м}$$ – длина второго маятника. Время наблюдения $$t = 10 \text{ с}$$. Пусть $$N_1$$ – количество колебаний первого маятника, $$N_2$$ – количество колебаний второго маятника. По условию, $$N_2 - N_1 = 4$$.

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Количество колебаний за время t:

$$ N = \frac{t}{T} = \frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \frac{t \sqrt{g}}{2\pi \sqrt{L}} $$

Тогда:

$$ N_1 = \frac{t \sqrt{g}}{2\pi \sqrt{L_1}} $$ $$ N_2 = \frac{t \sqrt{g}}{2\pi \sqrt{L_2}} $$ $$\Rightarrow N_2 - N_1 = \frac{t \sqrt{g}}{2\pi} \left( \frac{1}{\sqrt{L_2}} - \frac{1}{\sqrt{L_1}} \right) $$

Отсюда:

$$\frac{1}{\sqrt{L_2}} - \frac{1}{\sqrt{L_1}} = \frac{2\pi (N_2 - N_1)}{t \sqrt{g}}$$ $$\frac{1}{\sqrt{L_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2}} - \frac{2\pi (N_2 - N_1)}{t \sqrt{g}} $$ $$\frac{1}{\sqrt{L_1}} = \frac{1}{\sqrt{0.6}} - \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 4}{10 \cdot \sqrt{9.81}} \approx 1.29 - 0.80 = 0.49 $$ $$\sqrt{L_1} = \frac{1}{0.49} \approx 2.04 $$ $$ L_1 = (2.04)^2 \approx 4.16 \text{ м} $$

Ответ: Длина математического маятника составляет примерно 4.16 м.