34. Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2a и 2b. Докажите, что r² = ab.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, описанная около окружности радиуса r, с основаниями BC = 2a и AD = 2b.

1. Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

2. Трапеция равнобокая, поэтому AB = CD. Следовательно, 2AB = 2a + 2b, откуда AB = a + b.

3. Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности: h = 2r.

4. Опустим высоту из вершины B на основание AD. Получим прямоугольный треугольник ABH, где AH = (AD - BC)/2 = (2b - 2a)/2 = b - a.

5. По теореме Пифагора в треугольнике ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2, то есть (a + b)^2 = (b - a)^2 + (2r)^2.

6. Раскроем скобки: a^2 + 2ab + b^2 = b^2 - 2ab + a^2 + 4r^2.

7. Упростим выражение: 4ab = 4r^2.

8. Разделим обе части на 4: ab = r^2.

Ответ: r² = ab доказано.