37. Периметры двух правильных n-угольников относятся как a : b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?

Пусть P₁ и P₂ — периметры двух правильных n-угольников, а₁ и а₂ — их стороны, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей, R₁ и R₂ — радиусы описанных окружностей.

1. По условию, P₁ / P₂ = a / b.

2. Периметр правильного n-угольника: P = n * a, где a - длина стороны. P₁ = n * a₁ и P₂ = n * a₂.

3. Следовательно, a₁ / a₂ = P₁ / P₂ = a / b.

4. В правильном n-угольнике сторона связана с радиусом вписанной окружности: a = 2r * tg(π/n) и с радиусом описанной окружности: a = 2R * sin(π/n).

5. a₁ = 2r₁ * tg(π/n) и a₂ = 2r₂ * tg(π/n). Тогда r₁ / r₂ = a₁ / a₂ = a / b.

6. a₁ = 2R₁ * sin(π/n) и a₂ = 2R₂ * sin(π/n). Тогда R₁ / R₂ = a₁ / a₂ = a / b.

Ответ: Радиусы их вписанных и описанных окружностей относятся как a : b.