33. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит её боковую сторону в отношении 9:4. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, описанная около окружности с радиусом r = 12 дм. Точка касания K делит боковую сторону AB в отношении AK:KB = 9:4.

1. Свойство описанной трапеции: суммы противоположных сторон равны. Значит, AB + CD = AD + BC. Так как трапеция равнобокая, AD = BC, следовательно, AB = CD.

2. Пусть AK = 9x, KB = 4x, тогда AB = 9x + 4x = 13x. Так как AB = CD, то и CD = 13x.

3. Средняя линия трапеции MN = (BC + AD)/2 = (BC + BC)/2 = BC.

4. Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, то есть h = 2r = 2 * 12 = 24 дм.

5. Площадь трапеции можно выразить двумя способами: S = MN * h и S = (P/2) * r, где P - периметр трапеции.

6. Периметр трапеции P = AB + CD + BC + AD = 13x + 13x + BC + BC = 26x + 2BC.

7. Полупериметр трапеции P/2 = (26x + 2BC)/2 = 13x + BC.

8. S = (13x + BC) * 12 = MN * 24 = BC * 24.

9. 12 * (13x + BC) = 24 * BC => 13x + BC = 2 * BC => BC = 13x.

10. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой, проведенной из вершины C к основанию AD. Пусть H - основание высоты. Тогда AH = (AD - BC)/2 = 0, так как трапеция равнобокая. Следовательно, AD = BC = 13x.

11. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью основания. В этом треугольнике CH = 24 дм, AC = 13x. Также, если провести высоту из вершины B к основанию CD, то получим прямоугольный треугольник, в котором BK = 4x.

12. Проведём перпендикуляры из точек касания боковой стороны AB на основания BC и AD. Получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Тогда 9x + 4x = 13x, 9x - это отрезок, который равен половине разности оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и разницей оснований. Тогда высота равна 24, а половина разности оснований равна (13x - 13x)/2 = 0.

13. Так как точка касания делит боковую сторону в отношении 9:4, то высота, опущенная из точки касания, делит сторону на отрезки, пропорциональные этим отношениям. Значит, катет прямоугольного треугольника равен 13x/2.

14. По теореме Пифагора, (13x/2)^2 + 24^2 = (13x)^2. Отсюда x = 8/5.

15. MN = BC = 13x = 13 * (8/5) = 104/5 = 20.8 дм.

Ответ: 20.8 дм