638. Окружность, ь, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касает- ся его боковых сторон АВ и ВС в точках М и N соответственно. Докажите, что MN || АС.

Решение:
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Окружность вписана в этот треугольник и касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно.
Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, и углы при его основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
Отрезки BM и BN являются касательными к окружности, проведёнными из одной точки B, следовательно, BM = BN.
Тогда треугольник BMN также является равнобедренным, и углы при его основании равны, то есть ∠BMN = ∠BNM.
Сумма углов треугольника BMN равна 180°, следовательно, ∠BMN = ∠BNM = (180° - ∠B) / 2.
Аналогично, в треугольнике ABC: ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠B) / 2.
Таким образом, ∠BMN = ∠BAC.
Углы BMN и BAC являются соответственными углами при прямых MN и AC и секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MN || AC.