640. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М, ВС = а. Докажите, что АМ = р – а, где р – полупериметр треугольника АВС.

Решение:
Пусть окружность вписана в треугольник ABC и касается сторон AB, BC и CA в точках M, N и K соответственно.
Обозначим BC = a, CA = b, AB = c. Пусть AM = x. Тогда, по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
AM = AK = x,
BM = BN,
CN = CK.
Так как BC = a, то BN + NC = a. Также BN = BM и CK = CN, поэтому BM + CK = a.
Периметр треугольника ABC равен P = a + b + c, а полупериметр p = P / 2 = (a + b + c) / 2.
Также c = AB = AM + MB = x + BM, и b = AC = AK + KC = x + CK.
Тогда a + b + c = a + (x + CK) + (x + BM) = a + 2x + (CK + BM) = a + 2x + a = 2a + 2x.
Полупериметр p = (2a + 2x) / 2 = a + x. Выразим x:
x = p - a.
Так как AM = x, то AM = p - a.