642. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с основанием 10 см ана окружность. К этой окружности проведены три касатель- ика треугольники ADK, BEF

Решение:
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и основание AC = 10 см. В треугольник вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от треугольника ABC три маленьких треугольника: ADK, BEF и ещё один (назовём его CGH, где G и H лежат на сторонах AB и BC соответственно).
Периметр каждого из этих маленьких треугольников равен сумме длин двух касательных, проведённых из вершины этого треугольника к окружности.
Треугольники ADK и CGH - равнобедренные, так как они отсечены касательными от равнобедренного треугольника ABC.
Рассмотрим треугольник ADK. Пусть точки касания окружности со сторонами AD и AK - M и N соответственно. Тогда AM = AN.
Периметр треугольника ADK равен AD + DK + KA = AM + MD + DK + KA = AM + (DM + DK) + KA. Так как DM и DK - касательные к окружности, то DM = DP и EK = EP, где P - точка касания на стороне DK. Следовательно, периметр равен AM + AE. Значит, периметр треугольника ADK = 2AM.
Аналогично, периметр треугольника BEF = 2BX (где X - точка касания на стороне BE). А периметр треугольника CGH = 2CY (где Y - точка касания на стороне CG).
Сумма периметров всех трёх отсечённых треугольников равна периметру исходного треугольника ABC.
Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = AB + BC + 10.
Так как AB = BC, то AB + BC = 2AB. Пусть AB = x. Тогда периметр треугольника ABC = 2x + 10.
Сумма периметров трёх отсечённых треугольников равна 2x + 10.
Чтобы найти конкретные значения периметров треугольников ADK, BEF и CGH, необходимо знать длины сторон треугольника ABC или хотя бы один из углов. Без этой информации можно лишь выразить сумму периметров отсечённых треугольников через стороны исходного треугольника. Так как в условии дано только основание, мы не можем определить конкретные значения периметров. Без дополнительных данных решить задачу невозможно.