637. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Решение:
Пусть дан треугольник ABC с углами ∠A = 30°, ∠B = 70° и ∠C = 80°. Окружность вписана в треугольник, а точки касания обозначены как D на стороне AB, E на стороне BC и F на стороне AC. Требуется найти углы треугольника DEF.
Соединим центр окружности O с вершинами треугольника и точками касания. Углы ODA и OFA прямые, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Рассмотрим четырёхугольник ADO F. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. ∠ODA = 90° и ∠OFA = 90°. Следовательно,
∠DOF = 360° - ∠ODA - ∠OFA - ∠A = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°.
Аналогично находим углы DOE и FOE:
Для четырёхугольника BDOE: ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°.
Для четырёхугольника CFOE: ∠FOE = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°.
Теперь найдём углы треугольника DEF.
∠EDF = 1\frac{1}{2} ∠DOF = 1\frac{1}{2} ⋅ 150° = 75° (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу).
∠DEF = 1\frac{1}{2} ∠FOE = 1\frac{1}{2} ⋅ 100° = 50°.
∠DFE = 1\frac{1}{2} ∠DOE = 1\frac{1}{2} ⋅ 110° = 55°.