636. Периметр треугольника АВС, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной АВ делит эту сторону в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка касания со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:
Пусть K, L, M - точки касания окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно.
Пусть AK = 2x, BK = 3x, тогда AB = AK + BK = 2x + 3x = 5x.
По условию CL = 6 см, значит, CM = CL = 6 см (как отрезки касательных, проведённых из одной точки).
Пусть AM = AK = 2x (как отрезки касательных, проведённых из одной точки). Тогда AC = AM + MC = 2x + 6.
Пусть BL = BK = 3x (как отрезки касательных, проведённых из одной точки). Тогда BC = BL + LC = 3x + 6.
Периметр треугольника ABC равен 52 см, значит, AB + BC + AC = 52.
Подставляем выражения для сторон:
5x + (3x + 6) + (2x + 6) = 52
10x + 12 = 52
10x = 40
x = 4
Теперь находим стороны треугольника:
AB = 5x = 5 ⋅ 4 = 20 см
BC = 3x + 6 = 3 ⋅ 4 + 6 = 18 см
AC = 2x + 6 = 2 ⋅ 4 + 6 = 14 см