23. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите \(∠KCB\), если \(∠ABC = 22°\).

**Решение:** 1. **По условию, точки A, K, E, C лежат на одной окружности.** Значит, четырехугольник AKEC - вписанный. 2. **Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:** \(∠AKC + ∠AEC = 180°\) \(∠KAE + ∠KCE = 180°\) 3. **Дано, что AE ⊥ CK, следовательно, угол между ними равен 90°.** 4. **Рассмотрим четырехугольник, образованный AE и CK, и обозначим точку их пересечения как О.** Углы AOC и EOK равны 90 градусов. В четырехугольнике AKEC: угол AEC + угол AKC = 180. И угол KAE + угол KCE = 180 5. **Рассмотрим треугольник BKE. Угол B равен 22 градусам. И угол BEK + угол BKE = 180 -22 = 158** Так как четырехугольник AKEC вписан в окружность, то угол BEK = углу CAK как опирающиеся на одну и ту же дугу. 6. **Если AE и CK перпендикулярны, то угол AOC=90, и сумма углов CAO и ACO=180 - 90 = 90** 7. Так как четырехугольник AKEC вписан в окружность, то \(∠KAE + ∠KCE = 180°\) или \(∠BAC + ∠BCA = 180°\) 8. Но в треугольнике ABC \(∠BAC + ∠BCA = 180°\)- \(∠ABC \). Значит \(∠BAC + ∠BCA= 180 - 22 = 158\) и \(∠ECA + ∠CAK = 180° - ∠KCE или ∠KAE\). 9. **Вывод, угол КСВ = углу ABC/2 = 22/2= 11 градусов** **Ответ:** \(∠KCB = 68°\)