82. Окружность, вписанная в треугольник АВС с периметром, равным 20 см, делит точкой касания сторону АС на отрезки АК=5 см. КС=3 см. Определите, каким является треугольник: остроугольным, тупоугольным или прямоугольным?

Пусть окружность касается стороны AC в точке K, стороны AB в точке M, и стороны BC в точке N.

Тогда AK = AM = 5 см, CK = CN = 3 см. Пусть BM = BN = x.

Периметр треугольника ABC равен 20 см, поэтому AB + BC + AC = 20.

AB = AM + MB = 5 + x, BC = BN + NC = x + 3, AC = AK + KC = 5 + 3 = 8.

Тогда (5 + x) + (x + 3) + 8 = 20

2x + 16 = 20

2x = 4

x = 2

AB = 5 + 2 = 7 см, BC = 2 + 3 = 5 см, AC = 8 см.

Теперь проверим, каким является треугольник, используя теорему косинусов для наибольшей стороны AC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}\]

\[8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{B}\]

\[64 = 49 + 25 - 70 \cdot \cos{B}\]

\[64 = 74 - 70 \cdot \cos{B}\]

\[70 \cdot \cos{B} = 10\]

\[\cos{B} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} > 0\]

Так как косинус угла B положительный, угол B острый.

Аналогично можно проверить для других углов, но достаточно убедиться, что наибольшая сторона лежит напротив острого угла, значит, все углы острые.

Ответ: Треугольник остроугольный.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно определили длины сторон и косинус угла.

Доп. профит: Запомни: По знаку косинуса можно определить, является ли угол острым, прямым или тупым.