В5. Дан параллелограмм ABCD. у которого АВ=17 см. BD=18 см, АС=20 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда AO = \(\frac{1}{2}AC = 10\) см, BO = \(\frac{1}{2}BD = 9\) см.

Применим теорему косинусов к треугольнику AOB:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos{\angle AOB}\]

\[17^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos{\angle AOB}\]

\[289 = 100 + 81 - 180 \cdot \cos{\angle AOB}\]

\[180 \cdot \cos{\angle AOB} = 181 - 289 = -108\]

\[\cos{\angle AOB} = \frac{-108}{180} = -\frac{3}{5}\]

Теперь найдем \(\sin{\angle AOB}\):

\[\sin^2{\angle AOB} + \cos^2{\angle AOB} = 1\]

\[\sin^2{\angle AOB} = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

\[\sin{\angle AOB} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

Площадь параллелограмма равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot 18 \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot 18 \cdot 4 = 144\) см^2

Ответ: Площадь параллелограмма равна 144 см^2.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно применили теорему косинусов и формулу площади через диагонали.

Доп. профит: Запомни: Площадь параллелограмма можно найти разными способами, выбери наиболее подходящий в зависимости от данных задачи.