Вз. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c = 10 см. Радиус вписанной окружности равен r = 2 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\).

Также площадь можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r\), где \(p = \frac{a + b + c}{2}\) - полупериметр.

Значит, \(S = \frac{a + b + 10}{2} \cdot 2 = a + b + 10\)

Из прямоугольного треугольника имеем \(a^2 + b^2 = c^2 = 100\)

Из формулы радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника: \(r = \frac{a + b - c}{2}\)

Тогда \(2 = \frac{a + b - 10}{2}\)

\[a + b - 10 = 4\]

\[a + b = 14\]

\[S = a + b + 10 = 14 + 10 = 24\) см^2

Ответ: Площадь треугольника равна 24 см^2.

Проверка за 10 секунд: Проверьте, правильно ли применили формулы площади и радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника.

Доп. профит: Редфлаг: Знание формул для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике может упростить решение задач.