16.18. Определите число целых корней уравнения x · log₃x · log₃3x · log₃(1/3)x = 0: a) 1; б) 2; в) 3; г) 0; д) 4.

Пошаговое решение:

Рассмотрим уравнение: x * log₃(x) * log₃(3x) * log₃(1/3 x) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. x = 0 (но log₃0 не существует, поэтому x ≠ 0)
2. log₃x = 0, значит x = 3⁰ = 1
3. log₃3x = 0, значит 3x = 3⁰ = 1, x = 1/3 (не подходит, так как x должен быть целым)
4. log₃(1/3 x) = 0, значит 1/3 x = 3⁰ = 1, x = 3

Проверим найденные корни:

• При x = 1: 1 * log₃(1) * log₃(3) * log₃(1/3) = 1 * 0 * 1 * (-1) = 0
• При x = 3: 3 * log₃(3) * log₃(9) * log₃(1) = 3 * 1 * 2 * 0 = 0

Таким образом, уравнение имеет два целых корня: 1 и 3.

Ответ: б) 2