554. Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, BH - высота, проведённая к стороне AC, BH = 8 см. AC = AB + 2. Необходимо найти стороны треугольника.

Пусть AB = BC = x см, тогда AC = x + 2 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота BH является и медианой, то есть AH = HC = (x + 2) / 2 см.

Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$, $$x^2 = (\frac{x + 2}{2})^2 + 8^2$$, $$x^2 = \frac{(x + 2)^2}{4} + 64$$, $$4x^2 = (x + 2)^2 + 256$$, $$4x^2 = x^2 + 4x + 4 + 256$$, $$3x^2 - 4x - 260 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-260) = 16 + 3120 = 3136. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$, $$x = \frac{4 \pm \sqrt{3136}}{6}$$, $$x = \frac{4 \pm 56}{6}$$. $$x_1 = \frac{4 + 56}{6} = \frac{60}{6} = 10$$, $$x_2 = \frac{4 - 56}{6} = \frac{-52}{6} = -\frac{26}{3}$$ - не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.

Тогда AB = BC = 10 см, AC = 10 + 2 = 12 см.

Ответ: AB = BC = 10 см, AC = 12 см.